Меню

Прогрессии в жизни человека

13.10.2017 - Гороскопы

Точных наук

Полное название темы работы

Арифметические и геометрические прогрессии в нашей жизни

Тип работы

Исследовательская работа

Фамилия имя автора(-ов)

Михайлова Алена

Школа (класс)

МКОУ «Высотинская СОШ», 9 класс

Контактный телефон

Муниципальное казенное образовательное учреждение

«Высотинская средняя общеобразовательная школа»

«Арифметическая и геометрическая прогрессии в нашей жизни»

Выполнила: Михайлова Алена,

9 класс,

Руководитель: ,

учитель математики

с. Высотино, 2014

Введение стр. 2 Основная часть

2.1.  Историческая справка стр. 3 -4

2.2.  Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии

(в математике, в истории математики, легендах спорта) стр

2.3.  Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии

(в природе, финансовых пирамидах, литературе) стр

3.  Заключение стр. 9

4.  Список использованных источников и литературы стр. 9

ВВЕДЕНИЕ

Наша жизнь полна различных вычислений. Овладение конкретными математическими знаниями помогает в практической деятельности, формирует представление о математике как о части человеческой культуры. И как сказал великий Платон: «Было бы хорошо, если бы эти знания требовало само государство и если бы лиц, занимающих высшие государственные должности, приучали заниматься математикой и в нужных случаях к ней обращаться». Кто знает, может и не было бы глобальных экономических кризисов в мире.

В курсе геометрии 9 класса изучается тема: «Арифметическая и геометрическая прогрессии». Приглядевшись внимательнее, я стала замечать, что рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле. А в каких жизненных ситуациях можно применить знания о прогрессиях, встал передо мной вопрос? Можно ли увидеть прогрессию в природе, экономике и других областях жизни человека?

Цель работы найти и составить задачи для учащихся 9 классов на арифметическую и

геометрическую прогрессию.

Выдвинута проблема: сколько существует сфер в жизни человека, где можно увидеть прогрессии.

Задачи: с помощью знаний, полученных при решении задач, привлекать учеников к

«живой математике».

Выдвигаю гипотезу: сфер жизни человека, где встречаются прогрессии бесчисленное

Объект исследования — арифметическая и геометрическая прогрессия.

Методы исследования: анализ научной, учебной литературы; сравнение и анализ результатов, полученных разными авторами; их систематизация; метод аналогии, составление задач, составление схем.

2.1  Историческая справка

Термин «прогрессия» имеет латинское происхождение (progression, что означает «движение вперед») и был введен римским автором Боэцием (VI в.). Этим термином в математике прежде именовали всякую последовательность чисел, построенную по такому закону, который позволяет неограниченно продолжать эту последовательность в одном направлении. В настоящее время термин «прогрессия» в первоначально широком смысле не употребляется. Два важных частных вида прогрессий – арифметическая и геометрическая – сохранили свои названия. Сами названия «арифметическая» и «геометрическая» были перенесены на прогрессии из теории непрерывных пропорций, изучением которых занимались древние греки.

Арифметическая прогрессия.

Определение. Арифметической прогрессией называется

последовательность, каждый член которой, начиная со

второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и

тем же числом. Это число называется разностью

арифметической прогрессии.

Каждая арифметическая прогрессия имеет вид:

a, a + d, a + 2d, a + 3d, … и обозначается знаком:

Энный (общий) член арифметической прогрессии: n = a1 + d(n — 1)

Характеристическое свойство арифметической прогрессии ,т. е каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому между предшествующим и последующим членом.

Если разность арифметической прогрессии d > 0, то прогрессия называется возрастающей, если d < 0 — убывающей.

Число членов арифметической прогрессии может быть ограниченным либо неограниченным.

Если арифметическая прогрессия содержит n членов, то ее сумму можно вычислить по формуле Sn = или

Геометрическая прогрессия.

Определение. Числовая последовательность, первый член которой отличен

от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен

предшествующему члену, умноженному на одно и то же не

равное нулю число, называется геометрической прогрессией.

Условия, при которых геометрическая прогрессия будет существовать:

1) Первый член не может быть равен нулю, т. к при умножении его на любое число мы в результате снова получим ноль, для третьего члена опять ноль, и так далее. Получается последовательность нулей, которая не попадает под данное выше определение геометрической прогрессии.

2) Число, на которое умножаются члены прогрессии не должно быть равно нулю, по вышеизложенным причинам.

Геометрическая прогрессия имеет вид: b1,b1q,b1q2,b1q3,b1q4,b1q5

Далее, из определения геометрической прогрессии следует, что отношение любого ее члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. b2:b1 = b3:b2 = … = bn:bn-1 = bn+1:bn = … . Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обычно обозначается буквой

Для того чтобы задать геометрическую прогрессию (bn), достаточно знать ее первый член b1 и знаменатель . Например, условиями b1 = 2, q = -5 (q < 0) задается геометрическая прогрессия 2, -10, 50, -250, … . Эта прогрессия не является ни возрастающей, ни убывающей последовательностью.

Следует заметить, что: последовательность называется возрастающей (убывающей), если каждый последующий член последовательности больше (меньше) предыдущего.

Таким образом, если q > 0 (q1), то прогрессия является монотонной последовательностью. Пусть, например, b1 = -3, q = 4, тогда геометрическая прогрессия -3, -12, -48, -192, … есть монотонно убывающая последовательность.

Однако, если q = 1, то все члены прогрессии равны между собой. В этом случае прогрессия является постоянной последовательностью.

Любая геометрическая прогрессия обладает определенным характеристическим свойством. Это свойство является следствием самого правила задания геометрической прогрессии: последовательность (bn) является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов, т. е. , где .

Пользуясь этим свойством можно находить любой член геометрической прогрессии, если известны два рядом стоящие.

Для нахождения n-ого члена геометрической прогрессии есть формула: , где .

Для нахождения суммы геометрической прогрессии применяют следующую формулу:

Если в данную формулу подставить вместо bn его выражение в виде b1qn-1,

то получим еще одну формулу для вычисления суммы геометрической прогрессии:

У геометрической прогрессии есть еще одно свойство, а именно: из определения знаменателя геометрической прогрессии следует, что

b1bn = b2bn-1 = …, т. е. произведение членов, равно отстоящих от концов прогрессии, есть величина постоянная.

2.2 Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии

1. В математике:

В квадрат со стороной вписан посредством соединения середин его сторон новый квадрат. В этот квадрат тем же способом вписан новый квадрат и так до бесконечности. Чему равна сумма периметров всех этих квадратов?

Решение. Сторона квадрата, вписанного в первый квадрат со стороной равна

Сторона квадрата, вписанного в следующий квадрат , и т. д. Получаем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию:

со знаменателем . Вычислим её сумму:

Ответ:

2. В истории математики:

Величайший немецкий математик, астроном и физик Карл Гаусс родился в городе Брауншвейг (Германия). Его отец, садовник и фонтанный мастер, славился искусством быстро и легко считать. Эта способность перешла к сыну, говорившему позднее, что он «умел считать раньше, чем говорить». Первый успех пришёл к Гауссу в 9 лет. Школьный учитель велел ученикам найти сумму целых чисел от 1 до 40. Он рассчитывал надолго занять учеников этой задачей. Но Гаусс мгновенно сообразил, как сгруппировать слагаемые, и выдал ответ:

(1 + 40) + (2 + 39) + (3+ 38) + …. = 40 = 820. Найдите формулу, с помощью которой можно быстро вычислить сумму целых чисел от до /

Решение. Из формулы Sn = сразу получаем, что искомая сумма равна

3. В легендах спорта:

Говорят, что игра в шахматы была изобретена в Индии. Царь Ширам был восхищен игрой и приказал наградить изобретателя по-царски. Изобретатель Сета был человеком бедным, скромным, но терпел хвастунов. И когда царь заявил, что выполнит любое его желание, хитро прищурился и сказал:

— Хорошо, государь. Прикажи выдать мне за первую шахматную клетку 1 зернышко, за вторую – 2, за третью – 4, за четвертую – 8, за пятую – 16, за шестую – 32 …

— Хватит, хватит! Приди вечером, да не забудь мешок! – расхохотался Ширам.

Сета с низким поклоном удалился.

А мудрецы тем временем взялись за расчёты. И вечером в ужасе предстали пред царём, ожидая страшного наказания. 5

— В чём дело? Почему я не вижу мешков с зерном? – вскричал царь.

Самый старый мудрец негромко произнёс:

— О, государь! У вас нет такого количества зерна. Даже если распахать всю поверхность Земли…

Ширам удивился и попросил назвать ему количество зёрен.

— 18 квинтиллионов 446 квадриллионов 744 триллиона 73 биллиона 709 миллионов 551 тысяча 615, — ответил мудрец.

Чтобы собрать такое количество зёрен, следует распахать все планеты Солнечной системы (в 2000 раз больше всей поверхности Земли). А записать это число можно просто: S = 1 + 2 + 22 + 23 + …+ 263 =

4. В поселковых слухах:

Удивительно, как быстро разбегаются по посёлку слухи! Иной раз не пройдет и двух часов со времени какого–нибудь происшествия, которое видели всего несколько человек, а новость уже облетела весь посёлок: все о ней знают, все слышали. Итак, задача:

В поселкежителей. Приезжий в 8.00 рассказывает новость трем соседям; каждый из них рассказывает новость уже трем своим соседям и т. д. Во сколько эта новость станет известна половине посёлка?

Решение. Итак, вутра новость была известна только четверым: приезжему и трём местным жителям. Узнав эту новость, каждый из трёх граждан поспешил рассказать её трём другим. Это потребовало также четверти часа. Значит, спустя полчаса после прибытия новости в город о ней узнали уже человек. Каждый из девяти вновь узнавших поделился в ближайшие четверть часа с тремя другими гражданами, так что к 8.45 утра новость стала известна гражданам. Если слух распространяется по посёлку и далее таким способом, то есть каждый узнавший эту новость успевает в ближайшие четверть часа передать её трём согражданам, то осведомление посёлка будет происходить по следующему расписанию:

в 9.00 новость узнают (человек);

9.15 ;

9.30 ;

9.45 ;

10.00 (человек).

Эту задачу можно решить по-другому, используя формулу сумму первых членов геометрической прогрессии. В данном случае q = 3, b1 = 1, Sn = 8000, n –неизвестно.

Подставляя известные числа в формулу, получим:

8000 = , .

Чтобы найти , заметим, что 36 = 729, 32 =9, 38 = .

Значит, должно быть не меньше 9. При n = 9 имеем:

Значит, на 9-ом шаге более половины жителей города будут знать новость. Легко подсчитать, что это произойдёт в 10.00 утра.

2.3. Задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии

(в природе, финансовых пирамидах, литературе)

5. В природе:

Среди растений одуванчик ежегодно приносит около 100 семян. Если бы все прорастали, мы имели бы в первый год 1 растение, во второй – 100, в третий 104 растений, в четвертый – 106 и т. д., в девятый – 1016. Это число в 70 раз больше, чем имеется квадратных метров на всей суше. Следовательно, на девятом году материки земного шара были бы покрыты одуванчиками по 70 на каждом квадратном метре. Почему же в действительности мы не наблюдаем такого чудовищно быстрого размножения?

Решение. Потому что огромное большинство погибает, не давая ростков: они или не попадают на подходящую почву и вовсе не прорастают, или, начав прорастать, заглушаются другими растениями, или же просто истребляются животными. Но если бы этого массового уничтожения семян и ростков не было, каждое растение в короткое время покрыло бы сплошь всю планету.

Среди животных грызуны отличаются зубной системой. Резцы грызунов, расположенные по одному с каждой стороны верхней и нижней челюсти, очень велики, лишены корней и постоянно растут. Их свободный конец долотообразно заострен. Стачиваются резцы у грызунов неравномерно и всегда остаются острыми. Свои зубы эти млекопитающие используют для разгрызания дерева, коры, сгрызания кожуры с фруктов или для защиты.

Резцы у грызунов растут постоянно, вследствие того, что грызуны постоянно грызут и зубы изнашиваются.

Маленькая африканская пигмейская мышка имеет длину 6 см и весит 7 грамм. С другой стороны, водосвинка может достигать веса 45 кг Исчезнувший вид Phoberomys pattersoni, предполагают, весил 700 кг.

Если бы пигмейская мышка не грызла, то её зубы через 5 месяцев достигли величины половины её тела. Значит, для того, чтобы зубы оставались в форме надо стачивать зубы по 0,5 мм каждый день. Можно предположить какую колоссальную работу предстояло выполнять Phoberomys pattersoni.

6. В финансовых пирамидах:

Разберёмся в механизмах этих организаций. Организатор начинает вовлекать в свою организацию и говорит, что, если внести указанную плату по указанным адресам по 1 рублю, а затем заплатить ещё по 5 таким же адресам, вычеркнув первый адрес и дописав свой последним, то через некоторое время вы получите уйму денег. Хотя желающих разбогатеть по щучьему веленью немало, но в выигрыше оказываются только учредители такой игры.

Решение. Дело в том, что число участников увеличивается в 5 раз с каждым кругом. Если пятёрка устроителей подпишет, допустим, 120 человек со своими адресами, то в первом круге участвуют 120 человек, во втором – 600, в третьем – 3 000, …, в десятом – 234 375 000 человек; это намного больше населения страны. Так что участник, включившийся в восьмом или девятом круге, уже ничего не получит.

7. В литературе.

«…Не мог он ямба от хорея
Как мы не бились отличить…». Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха.

Ямб – это стихотворный размер с ударением на четных слогах 2; 4; 6; 8;…Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью прогрессии 2.

Хорей – это стихотворный размер с ударением на нечетные слогах стиха. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию 1; 3; 5; 7;..

Ямб. «Мой дЯдя сАмых чЕстных прАвил…», прогрессия 2; 4; 6; 8;…

Хорей. «Я пропАл, как звЕрь в загОне» , «БУря  мглОю  нЕбо  крОет» , прогрессия 1; 3; 5;7

Например, проведенный Н. Васютинским анализ стихотворений с этой точки зрения показал, что размеры стихов распределены весьма неравномерно; оказалось, что Пушкин явно предпочитает размеры в 5, 8, 13, 21 и 34 строк (числа Фибоначчи).
Многими исследователями было замечено, что стихотворения подобны музыкальным произведениям; в них также существуют кульминационные пункты, которые делят стихотворение в пропорции золотого сечения.

В нашей жизни многое очевидно с помощью математики, в частности, арифметической и геометрической прогрессий. Для того чтобы не попадать в неудачные ситуации, надо остановиться и подумать можно ли предугадать результат.

Выдвинутая мною гипотеза подтвердилась, сфер жизни человека, где встречаются прогрессии бесчисленное множество. Я рассмотрела лишь несколько сфер деятельности человека и убедилась в том, что применение математики в жизни может избежать многих проблем.

4. Список использованных источников и литературы.

1.  Алгебра 9 класс. Задания дл обучения и развития учащихся/ сост. «Интелект — Центр». 2005.

2.  Библиотека журнала «Математика в школе». Выпуск 23.Математика в ребусах, кроссвордах, чайнвордах, криптограммах. Худадатова . 2003.

3.  Математика. Приложение к газете «Первое сентября». 2000. №46.

4.  Разноуровневые дидактические материалы по алгебре для 9 класса/сост. . Воронеж. 2001.

5.  Интернет – ресурсы.

http://egypt. *****/p20aa1.html

http://ru. wikipedia. org/wiki/Аниций_Манлий_Торкват_Северин_Боэций

http://wiki. *****/index. php/Изображение:Drevzadachaproektskleminoi. jpg

http://wiki. *****/images/4/4b/Прогрессия_в_биологии..pdf